La valeur de la valeur de z (t) n'est pas significative la série n'est pas la valeur La valeur de la valeur de la valeur de z (t) n'est pas une série significative pas d'estacionaria Valeur de la valeur de criture 5 Rechazo Ho: la série a races unitarias Si z gt z où z est la valeur critique du test, alors nous acceptons H0, c'est à dire que la série a une unité racine. S'il ya des racines unitaires, la série n'est pas stationnaire. Par conséquent, si la valeur p de z (t) n'est pas significative, la série n'est pas stationnaire. Si z leq z alors on rejette l'hypothèse nulle H0 que la série a une racine unitaire. S'il n'y a pas de racines unitaires, nous concluons que la série est stationnaire. La valeur p de z (t) étant significative nous amènerait à conclure que la série est stationnaire. Test pour les racines unitaires L'analyse des séries chronologiques porte sur l'identification, l'estimation et la vérification diagnostique des séries temporelles stationnaires. En revanche, nous proposons les définitions suivantes: Définition: La séquence est dite covariance stationnaire si pour tout t et t s C'est à dire que la moyenne, la variance et la covariance sont invariantes à l'origine du temps. Définition: Supposons que nous avons la suite t (t0,1,2,133) avec la moyenne m et la variance s 2. Ensuite, la fonction d'autocorrélation ou le corrélogramme est donnée par Supposons que l'on ait une série t que l'on sait engendrée par un AR (1 ) Processus, disons, où et et est le bruit blanc. Nous pouvons estimer les paramètres en (1) par OLS: Notre estimateur est efficace et la série est stationnaire depuis. Nous pourrions utiliser une statistique t pour tester l'hypothèse. C'est un test légitime puisque le null est une hypothèse réfutable, même si le pouvoir contre une alternative locale est négligeable. Mais supposons que les données aient été réellement générées par la substitution récursive. Cela peut être réécrit comme étant non stationnaire puisque t devient grand. Maintenant, nous voudrions essayer Il ya un problème, cependant, car le centre de masse de l'estimateur habituel serait délimité par 1. Nous aurions tendance à errer du côté de rejeter trop de H 0. La question de la présence d'une racine unitaire est particulièrement problématique dans les modèles de régression du genre. Nous supposons généralement que t et t sont à la fois stationnaires et que e t est le bruit blanc. Si les deux variables sont non stationnaires, nous obtiendrons vraisemblablement des résultats parasites: R 2 élevés et coefficients statistiquement significatifs même s'il n'y a pas vraiment de relation significative entre y et z. Il ya quatre cas à considérer T et t sont stationnaires et le modèle de régression classique est o. k. Les séquences t et t sont intégrées de différents ordres. Les modèles de régression contenant de telles séries non stationnaires n'ont aucun sens. Les t et t non stationnaires sont tous deux intégrés d'ordre 1, par exemple, et le terme d'erreur a une dérive stochastique. Maintenant toutes les erreurs sont permanentes. C'est le cas. Mais on peut appliquer OLS avec bon effet à t et t sont intégrés du même ordre et la séquence résiduelle est stationnaire. Alors t et t sont dits co intégrés. Par exemple: T et t sont des processus racine unitaire, mais y t z t e yt e zt est stationnaire. Nous allons laisser l'affaire 4 jusqu'au chapitre sur la cointegration. Pour l'instant, nous nous intéresserons à déterminer si la série t a ou non une racine unitaire. Tests de Dickey Fuller Considérons le processus de génération de données et la question associée est 1 1 Soustrayez y t 1 des deux côtés pour obtenir g 0 implique a 1 1 implique une racine unitaire en t. Nous supposons que le processus est Nous pouvons réécrire ceci comme Dans la période suivante, c'est à dire t1, l'interception est aoa 1 t1 plus grande, à laquelle nous ajoutons Un terme stochastique. Nous avons vu cette idée d'une interception stochastique ailleurs. À savoir dans le modèle des effets aléatoires. Nous pouvons tenir compte d'une tendance linéaire à la dérive. Dans tous les cas, notre test d'hypothèse est: La statistique de test utilisée pour le test d'hypothèse est construite sous forme de statistique t. Les valeurs critiques proviennent d'un ensemble de tableaux préparés par Dickey et Fuller. Les tableaux ont été générés empiriquement. Nous sommes habitués à faire des tests avec des valeurs critiques que nous avons déterminées analytiquement par l'intégration d'une fonction de distribution connue. Le tableau particulier à utiliser dépend du fait que le modèle comporte une interception ou une tendance. Cependant, les valeurs critiques ne sont pas modifiées en incluant des termes sur le côté droit. Pour vous guider dans la procédure de test, considérez le diagramme suivant de Walter Enders, Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995. On commence dans le coin supérieur gauche avec le modèle le plus général, qui inclut une dérive stochastique et une tendance déterministe. Soit la tendance ou la dérive peuvent produire l'apparence d'une racine unitaire dans leur propre droit, de sorte qu'ils doivent être inclus dès le départ. Rappelons qu'une variable pertinente exclue introduit un biais, mais une variable irrlevante incluse n'a qu'un coût en termes d'efficacité. Si le null d'une racine n'est pas rejeté, procédez ensuite en testant l'importance du terme de tendance en présence d'une racine unitaire. Si le terme de tendance n'est pas significatif, testez ensuite l'importance du terme de dérive. Si, le long du chemin, nous trouvons que la tendance ou la dérive n'est pas nulle, nous procédons immédiatement à la vérification de l'importance de g. Les modèles suivants ont été adaptés à l'indice de production de la Banque fédérale de réserve pour la période 1950: 1 1977: 4, soit un total de 112 observations. Dans les trois modèles, les nombres entre parenthèses sont des erreurs types. Le mode le plus général, correspondant au début du diagramme de flux, est Au niveau d'essai 5 (2,5 dans chaque queue), la valeur critique pour le coefficient sur y t 1 pour un modèle avec dérive et tendance est 3,73, Une statistique de test observée de 3,6, donc nous ne parvenons pas à rejeter le null. Pour le moment, nous croyons qu'il y a une racine unitaire. Ensuite, on place un modèle qui impose la restriction que g 0, et on teste pour voir si le coefficient de tendance est nul. Notons que sur la base d'un test t classique, le coefficient de tendance est très significatif. Un modèle avec dérive mais pas de tendance et qui suppose qu'il ya une racine unitaire est maintenant le test de l'hypothèse est H o. Racine unitaire, aucune tendance H 1. Un ou les deux non vrais La statistique de test appropriée est construite comme s'il s'agissait d'un test F, mais la valeur critique est lue dans un ensemble différent de tables. La valeur critique au niveau 5 est 6,49, donc nous ne parvenons pas à rejeter le null. Notre conclusion à ce point est qu'il ya une racine unitaire et que la tendance devrait être exclue. Un modèle sans dérive ni tendance, mais qui présume une racine unitaire. Le test d'hypothèse est H o. Racine unitaire, pas de tendance, pas de dérive H 1. Un ou plusieurs appartiennent La valeur critique au niveau 1 du test est 6.50. Puisque notre statistique de test observée est plus petite que la valeur critique, nous ne parvenons pas à rejeter le null. Notre conclusion est qu'il ya une racine unitaire, il n'y a ni tendance ni dérive. Extension de Dickey Fuller Supposons que le processus de génération de données est C'est un peu plus général que le processus que nous avons commencé. Il admettra aussi une multiplicité de racines. Nous devons augmenter Dickey Fuller afin de tester cette possibilité. Nous allons ajouter et soustraire a 3 y t 2 pour obtenir Maintenant, additionner et soustraire (a 2 a 3) y t 1 pour obtenir Enfin, soustraire y t 1 des deux côtés Maintenant nous Peut tester la présence d'une racine unitaire. Nous savons que si les coefficients dans une équation de différence sont une somme, alors au moins une racine est unité. Dans le présent contexte, cela revient à tester g 0, comme dans le cas le plus simple. Les valeurs critiques pour ce modèle augmenté restent les mêmes que précédemment. Par parenthèse, l'ajout d'une tendance temporelle provoque un mal de tête quand vient le temps de dériver les grandes propriétés de l'échantillon de l'estimateur OLS puisque xx ne sera plus fini élément sage. Problèmes avec D F et D F augmenté 1. Le terme d'erreur peut avoir un terme de moyenne mobile dans celui ci. Supposons que A (L) y t C (L) e t et les racines de C (L) se situent toutes à l'extérieur du cercle unitaire, donc C (L) est inversible. Alors, malheureusement, D (L) sera d'ordre infini, mais nous pouvons utiliser notre procédure antérieure pour écrire avec nos ensembles de données finis que nous pourrions être en difficulté sinon pour le fait qu'il a été montré empiriquement qu'une bonne approximation va couper la Retard distribué au terme T3. 2. Quelle est la longueur de latence appropriée pour les termes différenciés inclus sur le RHS Le problème de trop de retards réduit l'efficacité de l'estimateur. C'est un problème beaucoup moins grave que d'utiliser trop peu de décalages. Comme indiqué précédemment, l'exclusion des variables pertinentes affectera le biais et la cohérence de l'estimateur des MCO. 3. DF teste pour voir s'il ya au moins une racine. Par exemple, on pourrait estimer les paramètres du modèle (1 L) 2 y t b 1 (1 L) y t 1 e t. On utiliserait alors les statistiques DF, selon le cas, pour tester b 1 0. Si b10 alors il ya 2 racines unitaires, si ce n'est pas zéro, alors il faut aller et tester pour voir s'il ya une seule racine unitaire . La procédure est généralisée de la manière évidente. 4. Comment savoir quels régresseurs déterministes appartiennent au modèle Les procédures utilisées dans l'exemple de production FRB et dans les problèmes 2 et 3 utilisent des tests d'hypothèses en cascade. Comme le montre Theil, Principes d'économétrie, Wiley, 1971, cela réduit le niveau de signification supposé du test à chaque étape suivante. Dans le même ordre d'idée, Judge et ses nombreux coauteurs soutiendraient que la procédure décrite dans le diagramme de flux met dans le domaine du pré test et donc une perte d'erreur quadratique plus élevée sur une grande partie de l'espace des paramètres. Néanmoins, dans le travail appliqué, nous ignorons souvent ces avertissements et utilisons le processus dans l'organigramme. Autre exemple: Parité de pouvoir d'achat En PPP, le taux d'amortissement de la monnaie est approximativement égal à la différence entre les taux d'inflation nationaux et étrangers. Le modèle PPP implique où pt log du niveau de prix américain pt log du niveau des prix à l'étranger et log du cours en dollars des écarts de change dt de PPP à l'instant t Les trois séries de données appliquent la transformation des grumes pour que nous utilisions les taux d'inflation . Dans certains modèles de PPP, il est possible que des chocs réels provoquent des déviations permanentes. Intuitivement, les écarts ne devraient pas persister ou il y aurait des opportunités substantielles de prise de bénéfices. De toute façon, cette prise de bénéfices et cet arbitrage rétabliraient PPP. Une procédure populaire dans la modélisation empirique de PPP est de construire la série Si PPP doit tenir, alors r t doit être stationnaire avec une moyenne nulle. En outre, il ne peut y avoir ni tendance ni dérive stochastique. Pour divaguer et anticiper le matériel dans une autre section, e t. P t et p t sont dites co intégrées lorsque le modèle PPP est vrai. Cette formulation spécifique du modèle impose un vecteur de cointégration spécifique sur les trois variables. À des données mensuelles pour les périodes de Bretton Woods antérieures (1960.1 1971.4, T136) et post (1973.1 1986.11, T167) pour obtenir les résultats suivants, avec des erreurs types entre parenthèses: Notez que a 0 pour cette dernière période. Cette seule raison remet en question la validité du PPP. Dans aucune des deux périodes, ne pouvons rejeter le null d'une racine unitaire. Le t observé est petit par n'importe quelle norme. La modification du régime de change a rendu les taux de change plus volatils et imprévisibles (voir SD et SEE). Dans cet exemple, nous ne rejetons pas le null d'une racine unitaire. Nous ne pouvons pas croire au modèle PPP. Mais notre procédure de test repose sur la variance constante du terme d'erreur, ce qui ne semble pas être le cas. Phillips et Perron ont conçu des statistiques de test corrigées pour les cas où l'erreur est une MA, est peut être hétérogène, ou il ya une rupture structurelle dans les données. Changement structurel Comment distinguer une série qui a une rupture structurelle, mais qui serait autrement stationnaire, et une série qui n'est pas stationnaire, mais qui, en raison d'une impulsion, semble évoluer comme la première série Considérons un modèle en Qui est un décalage dans l'interception où DL est un pour de nombreuses périodes consécutives et zéro autrement. Un exemple est la figure suivante. La ligne rouge est la série originale. La ligne bleue est la régression simple de y t dans le temps (a 3.543, b.189). Dans la régression de y t sur y t 1 on obtient Apparemment, la rupture structurelle fait que le coefficient sur y t 1 soit biaisé vers un. Pour toutes les apparences y t n'est pas stationnaire, bien que nous sachions qu'il est stationnaire avant et après la rupture à t50. Même sans faire le test pour ce cas, nous ne nous attendions pas Dickey Fuller à être très robuste contre ces modèles avec une rupture structurelle en eux. En effet, la statistique de test observée est t .507 Considérons maintenant un modèle non stationnaire dans lequel il ya eu une impulsion une fois et fait où DP est un dans une période donnée et zéro autrement Un exemple est dans la figure suivante: La ligne rouge est la Série originale. La ligne bleue est la régression simple de y t dans le temps (a 8.086, b.233). Il y a une pause apparente à t50. La régression de y t sur sa valeur décalée nous donne Même sans un test formel, la taille du coefficient nous fait soupçonner une racine unitaire, ce qui est bien le cas. Sans un test statistique, nous ne pouvons vraiment pas distinguer ce cas de l'instance précédente. Phillips et Perron ont développé un test pour ce problème. Considérons le modèle de travail dans lequel D P est une impulsion égale à un dans une période et zéro sinon, D L est un pour certaines périodes consécutives et zéro dans le cas contraire. Étape 1. Estimer les coefficients du modèle complet. Étape 2. Comparer les statistiques t avec les valeurs critiques de Perron. Le coefficient a 1 sera particulièrement intéressant. Lorsque Perron a utilisé cette méthode pour analyser les données de Plosser Nelson, il a constaté que la plupart des séries chronologiques macro étaient stationnaires.
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